Archive for November, 2011

Nilai Sukubanyak

Berbekal dari fakta bahwa suatu sukubanyak adalah bentuk aljabar yang memuat variabel, maka sukubanyak itu dapat dituliskan dalam bentuk fungsi variabelnya. Misalkan suatu sukubanyak dalam variabel x dapat dituliskan sebagai fungsi dari x. Sebagai contoh, sukubanyak dalam bentuk umum yang telah dibicarakan sebelumnya dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sebagai berikut:

f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0

Catatan:

Nama fungsi sukubanyak di atas dinyatakan dengan f(x), kadanmg-kadang dinyatakan dengan:

  • S(x) yang menunjukkan fungsi sukubanyak dalam variabel x, atau
  • P(x) yang menunjukkan fungsi polinom dalam variabel x.

Dengan menuliskan atau menyatakan suatu sukubanyak sebagai fungsi dalam variabel x, maka nilai sukubanyak itu dengan mudah ditentukan. Secara umum, nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k) dengan k adalah bilangan real. Selanjutnya, nilai dari f(k) dapat dicari dengan dua metode, yaitu dengan metode substitusi dan metode bagan/skema.

Pengertian Sukubanyak

Sukubanyak atau polinom dalam variabel x yang berderajat n secara umum dapat ditulis sebagaui berikut:

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0

dengan:

  • an, an-1, an-2, …, a2, a1, ao adalah bilangan-bilangan real dengan an ≠ 0. aadalah koefisien dari xn, an-1 adalah koefisien dari xn-1, an-2 adalah koefisien dari xn-2 , …., demikian seterusnya. a0 disebut suku tetap atau konstanta.
  •  n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat sukubanyak

 

Derajat dari suatu sukubanyak dalam variabel x ditentukan oleh pangkat yang paling tinggi bagi variabel x yang ada dalam sukubanyak itu.

Perhatikan bahwa suku-suku pada sukubanyak di atas diawalai oleh suku yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi, yaitu anxn. Kemudian diikuti oleh suku-suku dengan pangkat variabel x yang semakin menurun an-1xn-1 , an-2xn-2 , … , a2x2 , a1x dan diakhiri dengan suku tetap a0.

Sukubanyak yang disusun atau ditulis dengan cara seperti itu dikatakan disusun mengikuti “aturan pangkat turun” dalam variabel x. perlu diingat kembali bahwa variabel suatu suku banyak tidaklah harus dalam variabel x, tetapi dapat saja dalam variabel-variabel lainnya, seperti: a, b, c, … , s, t, …, u, … , y dan z.

Sukubanyak-sukubanyak yang telah dibicarakan di atas adalah sukubanyak yang hanya mempunyai satu variabel, disebut sukubanyak univariabel. Selain itu ada pula suatu suku banyak dengan variabel lebih dari satu disebut multivariabel. Misalnya, x3 + x2y4 – 4x + 3y2 – 10, merupakan sukubanyak dalam dua variabel (variabel x dan y). Sukubanyak ini berderajat 3 dalam variabel x atau berderajat 4 dalam variabel y.

 

Soal:

Sebutkan nama peubah atau variabel, derajat dan koefisien-koefisien dari setiap sukubanyak berikut ini:

  1. 12x7 + 54 – 4x2 + 3x – 10
  2. 2x2 + 5x2 – 1ox + 7
  3. x3 – 4x + 2
  4. q12 + 4q8 – q6 + q4 – 5q2 + q + 6

Persamaan-Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar.

Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran dan sebuah titik tertentu disebut pusat lingkaran.

 

 

 

Pada gambar di atas diperlihatkan tempat kedudukan titik-titik yang membentuk lingkaran dengan jari-jari r dan pusat lingkaran di titik M yang digambarkan pada sebuah bidang Cartesius

Berdasarkan gambar tersebut, dapat ditentukan sebuah persamaan yang menyatakan hubungan antara peubah x dan peubah y. Untuk tempat kedudukan titik-titik yang mebentuk lingkaran, persamaan yang menghubungkan peubah x dan peubah y tadi disebut dengan persamaan lingkaran. Bentuk persamaan lingkaran ditentukan oleh:

  1. Letak pusat lingkaran M
  2. Panjang jari-jari r

1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O(0,0) dan Berjari-jari r

Gambar di atas memperlihatkan lingkaran yang berpusat di O(o,0) (titik koordinat asal) dan berjari-jari r pada sebuah bidang Cartesius.

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi pada titik P pada sumbu X adalah OP’P merupakan segitiga siku-siku di P’. Karena titik P(x,y) diambil sembarang, maka persamaan berlaku untuk semua titik P(x,y) yang terletak pada keliling lingkaran. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:

Jika pusat lingkaran terdapat di (0,0) \!, maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A(a,b) dan Berjari-jari r

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di P’.

Di mana:

AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh :
AP = √(AP’)2 + (PP’)2
r2 = √(x – a)2 + (y – b)2
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :
Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah :

Persamaan lingkaran disebut persamaan lingkaran dalam bentuk baku. Artinya, jika suatu persamaan lingkaran dinyatakan dalam bentuk baku, maka pusat dan jari-jari lingkaran tersebut dapat ditentukan secara langsung.

Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Image

Trigonometri (berasal dari bahasa Yunani yaitu: trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri juga memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Kuadran dalam Trigonometri:

 

 

Kali ini, akan disinggung sedikit mengenai rumus-rumus yang biasa dipakai di dalam Trigonometri. Di antaranya adalah “Rumus-rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut”.

Rumus untuk “Sinus”:

\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,

\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,

Rumus untuk “Cosinus”:

\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,

\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,

Rumus untuk “Tangen”:

\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,

\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,


Follow

Get every new post delivered to your Inbox.