Persamaan-Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar.

Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran dan sebuah titik tertentu disebut pusat lingkaran.

 

 

 

Pada gambar di atas diperlihatkan tempat kedudukan titik-titik yang membentuk lingkaran dengan jari-jari r dan pusat lingkaran di titik M yang digambarkan pada sebuah bidang Cartesius

Berdasarkan gambar tersebut, dapat ditentukan sebuah persamaan yang menyatakan hubungan antara peubah x dan peubah y. Untuk tempat kedudukan titik-titik yang mebentuk lingkaran, persamaan yang menghubungkan peubah x dan peubah y tadi disebut dengan persamaan lingkaran. Bentuk persamaan lingkaran ditentukan oleh:

  1. Letak pusat lingkaran M
  2. Panjang jari-jari r

1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O(0,0) dan Berjari-jari r

Gambar di atas memperlihatkan lingkaran yang berpusat di O(o,0) (titik koordinat asal) dan berjari-jari r pada sebuah bidang Cartesius.

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi pada titik P pada sumbu X adalah OP’P merupakan segitiga siku-siku di P’. Karena titik P(x,y) diambil sembarang, maka persamaan berlaku untuk semua titik P(x,y) yang terletak pada keliling lingkaran. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:

Jika pusat lingkaran terdapat di (0,0) \!, maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A(a,b) dan Berjari-jari r

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di P’.

Di mana:

AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh :
AP = √(AP’)2 + (PP’)2
r2 = √(x – a)2 + (y – b)2
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :
Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah :

Persamaan lingkaran disebut persamaan lingkaran dalam bentuk baku. Artinya, jika suatu persamaan lingkaran dinyatakan dalam bentuk baku, maka pusat dan jari-jari lingkaran tersebut dapat ditentukan secara langsung.

  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: